在遭遇刑事拘留之后，申请取保候审并无绝对严格的最短时间节点规定。
然而在实际操作过程中，能够把握住被拘留后的第37天这段至关重要的时间段显得尤为关键。
根据相关法律规定，刑事拘留的最长期限约为10日左右，在特殊情况下可延长至14日。
对于那些涉及流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑分子而言，其拘留期限则有可能长达37日之久。
在此期间，若犯罪嫌疑人满足了取保候审的相关条件，例如可能会被判处管制、拘役或独立适用附加刑的；
可能会被判处有期徒刑以上刑罚，而采取取保候审措施不会导致社会安全风险增加的；
患有严重疾病、生活无法自理，或是正处于孕期或哺乳期的妇女，采取取保候审措施也不会引发社会安全风险的；
以及在羁押期限届满之时，案件仍未得到妥善处理，需要采取取保候审措施的等等，均可提出取保候审的申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。