若因捕捉兔子而遭受刑事拘留，其是否具备保释的资格，必须依据特定情况进行审慎评估。
若所捕获之兔子为受到国家法律严格保护的野生动植物品种，则此等行径极有可能触犯相关法条进而构成犯罪。
通常而言，在评估是否批准保释时，需综合考量犯罪的性质、情节，以及当事人的社会危险性等诸多因素。
倘若犯罪情节较为轻微，且其不存在再次实施犯罪的潜在风险，亦不能对社会带来任何危害，同时还能够确保当事人按照相关规定全天候配合调查工作，那么便有可能实现保释的申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十一条
【逮捕的条件】对有证据证明有犯罪事实，可能判处徒刑以上刑罚的犯罪嫌疑人、被告人，采取取保候审尚不足以防止发生下列社会危险性的，应当予以逮捕：
（一）可能实施新的犯罪的；
（二）有危害国家安全、公共安全或者社会秩序的现实危险的；
（三）可能毁灭、伪造证据，干扰证人作证或者串供的；
（四）可能对被害人、举报人、控告人实施打击报复的；
（五）企图自杀或者逃跑的。
批准或者决定逮捕，应当将犯罪嫌疑人、被告人涉嫌犯罪的性质、情节，认罪认罚等情况，作为是否可能发生社会危险性的考虑因素。
对有证据证明有犯罪事实，可能判处十年有期徒刑以上刑罚的，或者有证据证明有犯罪事实，可能判处徒刑以上刑罚，曾经故意犯罪或者身份不明的，应当予以逮捕。
被取保候审、监视居住的犯罪嫌疑人、被告人违反取保候审、监视居住规定，情节严重的，可以予以逮捕。