根据我国现行《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条规定，被羁押于拘留所的当事人有权利申请办理取保候审手续。在此前提之下，若该犯罪嫌疑人员或者被告确实符合此类条款中某一种情况，那么，他们有权向负责执行相应取保候审措施的公安机关提出申请。具体的申请流程通常包括递交申请书、提供相关的证明文件以及详细阐述申请理由等多个环节。在收到申请之后，公安机关会对其进行严格的审核，如果确认申请符合相关条件，便可依法决定实施取保候审的相关措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。