依据我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的详细规定，取保候审的执行权应归属于公安机关。然而，这部法律并未对取保候审是否可能由犯罪嫌疑人或被告人自行支付费用做出明确规定。然而，从实际操作层面来看，犯罪嫌疑人和被告人是有可能通过提供保证金或者寻找保证人来作为担保，从而确保他们在取保候审期间能够严格遵守相关的法律法规。因此，尽管法律条款并未明确指出犯罪嫌疑人或被告人可以自行支付费用，但是在实际操作过程中，他们确实可以通过缴纳保证金的方式来获取取保候审的资格。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。