依照《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条之明确规定，在犯罪嫌疑人、被告人被执行逮捕之后，在其羁押期限临近届满之际，而案情仍未明朗，并且必须采用取保候审加以监管之时，方可为之。因此，若在历经37日以后，相关案件仍然悬而未决，同时又符合取保候审的一切其他必备条件，例如并无继续危害社会的风险，那么犯罪嫌疑者或被告人以及他们的法定代理人、近亲可以向前辈的公安部门提出取保候审的请求。然而，公安机关最终是否会批准取保候审，则须依据实际情况进行判断和决策。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。