依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的明文规定，在刑事案件侦查阶段，被依法逮捕之后，依然存在被保释出狱等待审判的可能性。这一法律条款明确指出，在特定的情形之下，人民法院、人民检察院以及公安机关有权对涉及罪行的犯罪嫌疑人、被告人采取保释措施。这些特殊情况包含可能会被判决较轻刑罚的罪犯，患有严重疾病的犯人，处于孕期或者哺乳期的女性罪犯以及拘留期限已经到期的罪犯等等。所以，如果犯罪嫌疑人或被告人员正好符合以上任意所述的条件之一，那么他们就有资格提出保释请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。