依据中国《中华人民共和国刑事诉讼法》所赋予的第六十七条规定，当犯罪嫌疑人、被告人在行使司法程序过程中被依法拘留后，若具备以下任一条件，便可提出取保候审的申请：首先，嫌疑人可能会面临管制、拘役或者独立适用附加刑等刑罚；其次，假如逮捕的嫌疑人可能因审判而导致多于十年有期徒刑的判罚，但若利用取保候审制度可以保障社会安全稳定不会受到任何影响，这样的情况下也可以尝试申请取保候审；再者，如果嫌疑人身患重病导致生活无法自理，或者是孕妇或者正在哺乳期的母亲，同样可以考虑申请取保候审；最后，在羁押期限即将到期之时，案件仍然没有得到妥善处理，此时也可以申请取保候审。值得注意的是，申请取保候审应当由公安机关来实施执行。因此，当逾期的刑事拘留嫌疑人和被告人均符合上述任意一种情形时，他们就有权利向公安机关提交取保候审的申请，并且需要同时提交与申请理由相匹配的证据作为支持，最后将这个申请交由公安机关进行审议并决定是否予以批准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。