依照《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条明确规定，在刑事案件进行立案处理之后，尽管已开始进入司法追诉程序，但只要犯罪嫌疑人和被告人均满足上述条款中所描述的各类情况之一，人民法院、人民检察院以及公安机关仍可依法依据此款法律精神，决定为其采取取保候审措施，以保障其合法权益得以维护。因此，在刑事立案之后，确实具备相应条件的犯罪嫌疑人和被告人们有权提出取保候审申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。