在办理无锡地区的取保候审案子过程中，律师的核心职责在于以下几个方面：首先是对案件进行全面评估，深入剖析犯罪嫌疑人和被告人的犯罪行为、犯罪情节及潜在社会危害等诸多因素，以此来衡量他们是否具备取保候审的资格；其次是精心筹备各种所需材料，如收集必要的证据，草拟详细的法律意见书以证明当事人适宜于接受取保候审的依据，例如无社会危害性的可能性、健康状况等因素；再次是积极与司法机构进行有效沟通，向检察官和法官阐述应当批准取保候审的理由，尽可能地得到他们的支持；最后，当取得司法机构的审批后，负责协助当事人或其亲属缴纳保证金，并办理相应的手续。除此之外，律师还需要做好后续跟踪工作，督促当事人严格遵守取保候审的相关规定，妥善处理可能发生的各种问题。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。