对涉案人员提出的袭警罪名进行取保候审的法律程序中，没有固定的申请期限。案件的具体复杂程度、公安机关的工作效率以及嫌疑人本人是否满足相应的取保条件等多方面因素都可能成为影响审批时间的关键因素。在公安机关接收到当事人递交的取保候审申请之后，他们需要依照法定程序对相关材料进行严谨核实和全面审查，在必要情况下还将深入开展相关的调查研究工作，以确保嫌疑人的行为不会对刑事诉讼程序产生任何不利影响。只有在经过严格审核并确认无误后，公安机关才会正式批准取保候审申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。