在检察机关审理案件的过程中，根据相关规定，犯罪嫌疑人和其辩护律师有权向检察机关递交申请获取保释手续。首先，此类申请应以书面形式呈现并详细阐述获取保释的具体理由，例如患有严重疾病、正处于孕期或是年龄较大身体状况不佳等原因。检察机关将综合考虑案件情况以及法律规定来决定是否批准此项请求。当检察机关认为对犯罪嫌疑人进行逮捕并非必要措施并且符合相应法律条件时，他们有权利决定为犯罪嫌疑人提供保释。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。