在山东省聊城市申请办理取保候审手续的过程一般涵盖如下关键环节：
首先是由涉案人员（即犯罪嫌疑人、被告人）本人或者他们的亲属以及法律代理人士提交书面申请；
其次，应向负责处理案件的公安机构、检察院以及法院提交担保人或者交纳一定金额的保证金作为担保措施；接下来就是上述三方权威机构对申请人的请求进行严格的审查与评估，以确定是否具备准予取保候审的合适条件；一旦经过审核认定符合取保候审的各项要求，相关单位将正式作出批准的决定，同时向当事人发出书面通知；
最后，在获得批准后，被取保候审者必须严格遵守相关的规定和限制，例如定期前往指定地点报到、未经许可不得擅自离开居住地等等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。