在中国的刑事法律体系中，作为近亲关系之一的舅舅，若其涉入了可能触犯刑律的案件并受到羁押，那么依据我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，他仍享有向司法机关提出取保候审申请的权利。所谓“取保候审”，实际上乃是指一种法律层面上的强制处分手段，是在符合特定条件的情况下，那些可能成为犯罪嫌疑者或者被告人的人们，得以在确保自身不会逃避司法程序、且不会对刑事诉讼造成任何妨碍的前提下，离开羁押场所进入自由状态，无需继续留在看守所静待案情审理的特殊待遇。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。