根据我国相应刑事法律规定，在拘留在押满37日后，倘若符合取保候审的相关条件，涉案人员及其亲属、辩护律师均有权向负责案件侦办的司法机构提交书面申请。通常情况下，申请取保候审所需满足的条件主要包括不会对社会造成危害、身患严重疾病、正处于孕期或正在哺乳自己的婴幼儿等方面。待侦查机关对上述申请进行严格审核并作出决定之后，如获准许，则申请人须提供合适的担保人选或缴纳相应数额的保证金作为保证。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。