依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条之明确规定，取保候审的执行权归属于公安机关。在机动车交通事故责任纠纷案件中，公安交警部门办理取保候审程序通常包含如下几个重要环节：
首先，进行初步审核。这一阶段由公安交警部门通过对案件进行深度分析和梳理，结合犯罪嫌疑人或被告人的实际状况，评估其是否具备资格申请取保候审。
其次，提出申请。若经初步审核认定符合取保候审条件，公安交警部门便可向人民检察院或者人民法院提交取保候审的申请。
再次，审查批准。人民检察院或人民法院在收到公安交警部门的申请之后，将会对其进行严格的审查，并最终决定是否批准取保候审。接下来，执行取保候审。一旦取保候审获得批准，公安交警部门将承担起执行取保候审具体措施的重任，例如收取保证金、监督被取保候审人遵守相关规定等等。
最后，监督管理。在取保候审期间，公安交警部门需对被取保候审人的行为进行严密监控，确保他们遵守相关规定，如不得擅自离开指定区域、不得干扰证人作证等。
此外，结案处理也是取保候审流程中的重要环节。当取保候审期限届满，若案件已顺利办结，被取保候审人即可解除取保候审；但若案件尚未完结，则可能需要继续采取其他强制措施。以上所述流程仅为依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定所做的概括性描述，具体实施过程可能因案件具体情况及各地司法实践而有所差异。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。”