在我国现行的法律条文中，对于警察机关将涉案人员带离羁押场所之后的天数内可否申请取保候审这一问题并未有明确规定。然而，需要注意的是，取保候审的批准与否主要依赖于特定案件的实际状况以及嫌犯可能带来的社会危害性等多重因素。根据相关法规，关于这一事项的决定权归属公安机关、人民检察院或者人民法院依据《中华人民共和国刑事诉讼法》所作出的论证和判定。实践中，若符合一定的法律条件，例如所涉及的罪行并非严重犯罪、预计可能被判处的刑期相对较轻、孕妇或患有某种疾病等情形，便可在侦查或起诉环节提出相应的取保候审申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。