依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条所述，在犯罪嫌疑人或被告者在遭遇公安部门拘捕之后，若满足本条文所列举的任何一种情形，便有权利申请取保候审。
然而，能否真正获得取保候审的批准则需视具体案情以及负责审理案件的人民法院、人民检察院以及公安机关共同做出裁定来决定。执行取保候审职责的主体为公安机关。所以，公安部门实施拘捕行为后何时能够申请取保候审，完全取决于相关案件的具体情形以及审判机关的审查与决策结果。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。”