根据我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条之规定，犯罪嫌疑人家属在面对被告人身陷囹圄之时，有权向负责侦查工作的公安机关提出为其本人或其亲属申请取保候审的要求。
同时需要注意的是，取保候审的具体实施与执行均由公安机关负责。若犯罪嫌疑人家属认为符合本法条所列举的四种情况之一，便可向公安机关提交书面申请，请求对犯罪嫌疑人、被告人采取取保候审的强制性措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。”