在涉及寻衅滋事案件的审理过程中，倘若涉案的被告人身处中国刑事诉讼法第六十七条规定的取保候审条件之内，便可凭借此项法律条款提出取保候审的申请。以下为详细的申请流程：
首先，被告人本人及其法定代理人，亦或是下属近亲属均有权向相应的公诉机关、检察部门或司法机关提交书面申请，启动取保候审程序；
其次，申请过程中必须附带相关的证据资料以及担保人和/或保证金作为文件支持；接下来，顺利提交申请之后，公诉机关、检察部门或司法机关会对申请进行严格的审查，以决定是否批准取保候审；
如若获批，公诉机关、检察部门或司法机关将会向被告人发出取保候审决定书，同时明确告知在取保候审期间需遵守的各项规定；在取保候审期间，被告人必须严格遵守取保候审决定书中所载明的各项规定，包括但不限于不得逃避侦查、审判，不得干扰证人作证，不得毁灭、伪造证据，不得串供等等；
最后，取保候审期限届满之时，若案件尚未审结完毕，被告人可申请继续取保候审，或者依法变更强制措施。
值得一提的是，对于寻衅滋事罪的具体定罪标准和量刑标准，需要参照《中华人民共和国刑法》及相关司法解释来确定，而取保候审的适用条件则依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条。因此，若被告人涉嫌寻衅滋事罪，并且满足取保候审的条件，便可依法提出取保候审的申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。”