家属签署保释申请书的时间这一事项，尚未被纳入《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的明晰规定之中。本法条所涉及的主题主要是取保候审的适用对象及负责实施的机构等内容。关于具体申请的繁琐流程以及家属签字时间的问题，则可能会受到相关司法解释或公安机关制定的实际操作规程的影响。因此，依据现有法规，我们无法给出确切的答复，告知您家属签署保释申请书的确切时间。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。”