对于犯罪嫌疑人和被告人的保释申请通常在其遭受拘留或者逮捕后立即提出。只要符合相关法律法规所规定的条件，例如无需担心会引发社会危害等情况，便可向司法机关提交此类申请。此举的主要目的在于确保嫌疑人的合法权益得到充分保护，同时也能有效缩短其在拘禁期间的时间。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条明确规定：
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。