在执行取保候审这一程序时，其立案阶段通常是在对涉嫌者实施了刑事拘留或者逮捕之后，只要能够满足法律规定的相关条件，便可以依法向有关司法机关提出申请。而最为恰当的时机往往出现在嫌疑人或者被告人已经开始被羁押期间，此时，通过聘请专业律师提供协助，早期对整个案件进行全面评估，一旦确认具备取保候审的条件，便可着手进行相关工作。例如，在某些情况下，可能涉及到并非极其严重犯罪的指控、被告人并不会有逃脱司法侦查的意图、以及候选人不会对被告人造成妨碍等制约因素。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条明确规定：“人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
一可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
二可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
三患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
四羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。”