在通常情况下，取保候审的流程由公安机关、人民检察院或者人民法院来负责完成。当涉嫌犯罪的人员或者被告人满足了取保候审的相关条件时，他们有权向以上任意一家司法机关提出申请。
根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》的具体规定，司法机关在对是否准予实施取保候审进行审核批准时，必须充分斟酌和权衡到该案件中犯罪嫌疑人、被告人的社会危害程度、案件的性质以及可能被判处的刑罚等多方面因素。若经审查认为符合相关条件，则可依法作出决定，批准实施取保候审，并由公安机关负责执行。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。