倘若被告方未能履行其赔偿责任，且在经过由公安机关交通管理部门所主持的调解程序之后，双方仍然未能就相关问题达成一致共识或调解协议书签发后依然没有得到执行，那么当事人便有权依法向司法机构提起民事诉讼。在这个过程中，需要遵循以下步骤：
首先，需要提交诉状；
然后，向具有合法管辖权限的法院或司法机关递交起诉材料；接着，法院将对案件进行开庭审理；随后，进入法庭调查阶段，各方当事人将就争议事实进行举证和质证；接下来是法庭辩论环节，各方将就证据和法律适用等方面展开辩论；
最后，如果各方能够达成调解意向，则会进入法庭调解阶段，否则将由法官作出最终判决。

《民事诉讼法》第八条，民事诉讼当事人有平等的诉讼权利。人民法院审理民事案件，应当保障和便利当事人行使诉讼权利，对当事人在适用法律上一律平等。
第九条，人民法院审理民事案件，应当根据自愿和合法的原则进行调解；调解不成的，应当及时判决。
第六十四条，当事人对自己提出的主张，有责任提供证据。
当事人及其诉讼代理人因客观原因不能自行收集的证据，或者人民法院认为审理案件需要的证据，人民法院应当调查收集。
人民法院应当按照法定程序，全面地、客观地审查核实证据。