当遭遇保险公司拒绝赔偿之情形时，当事人有权利向法院提起诉讼，并可在此过程中要求保险公司自行支付相应的利息费用。
然而，最终是否能够成功主张这一请求，尚需视具体案例而定，且最终裁决权归于法官手中。在通常情况下，仅当保险公司原本应当承担赔偿责任，或者保险投保方并未存在严重的投保过失行为时，保险公司才可能会因拒赔、只赔偿部分金额或延迟赔偿等原因，导致当事人寻求法律援助并提出利息索赔。
此外，若保险公司拒绝赔偿系基于合理的理由，即被保险人所发生的风险事故并不符合相关条款规定的理赔条件，那么保险公司将无须支付任何利息，甚至可能连已经收取的保费都无法予以退还。

《中华人民共和国保险法》第六十四条保险人应当按照保险合同的约定履行赔偿义务；第三十四条保险人不得因保险标的的价值变更或者被保险人的保险单投保时被保险人故意或者重大过失未如实披露情况而拒绝承保或者不按照约定承担赔偿责任。《中华人民共和国消费者权益保护法》第十一条消费者受到侵害，有权要求侵害者承担侵害责任；第二十三条消费者权益保护组织及其工作人员违法行为的，由有关部门依法进行处理。