当保险公司拒绝履行其理赔责任时，消费者有权利选择通过相关机构的介入来维护自身合法权益。
首先，消费者可选择向所涉保险公司所在地区的保险监管部门提出投诉，例如中国银行保险监督管理委员会（简称“银保监会”）等，以获取权威性的处理结果和公正的裁决。
其次，消费者还可以寻求消费者权益保护机构以及仲裁机构的援助，例如中国消费者协会、各地方人民调解委员会等，这些机构都具有相应的法律地位和专业能力，能够为消费者提供有效的维权途径。
最后，如果消费者认为自己的权益受到了较大程度的侵害，可以考虑聘请专业律师代理索赔事宜，甚至在必要情况下提起诉讼，以维护自身的合法权益。

《中华人民共和国保险法》第三十一条消费者申请保险金或者保险金给付的，保险人应当在规定的期限内处理；保险人不予理赔或者未在规定期限内处理的，消费者可以向保险监督管理部门投诉。