若保险公司拒绝支付赔偿金，被保险人在向法庭提出诉讼时有权要求保险公司自行承担相关利息费用。
然而，这一诉求是否能够得以落实，最终仍需由法官进行裁决和判定，且通常仅限于以下几种情况：
首先，保险公司本应对此次债务履行赔付义务；
其次，如果投保方在此过程中并无明显的投保失误，那么保险公司对其拒赔、只愿意支付部分赔偿款或者是长时间拖延支付等行为便失去了理据。在这种情况下，建议咨询法律专业人士来进行起诉，同时提出索赔利息的要求。
此外，倘若保险公司拒绝支付赔偿金的决定是基于合理的考虑，即被保险人所遭遇的风险事件并不符合保险合同中的理赔条件，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至可能连已经收取的保费都无法予以退还。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。