若贵方在发起保险赔偿申请后遭遇到保险公司的拒赔或者长时间的延迟支付，可考虑采取如下策略：
首先，请务必对所签署的保险合同中的各项条款进行详细审查，以便明确自身的权利及责任范畴。
然后，贵方可尝试就此问题与保险公司展开深入的沟通和协商，同时，为确保自己的索赔要求得到充分的依据和证明，需准备充足的证据以及相关资料。
其次，若经过协商仍无法达成共识，贵方有权向保险公司的客户服务中心或相关职能部门提出投诉，以获取处理结果，并且，对于投诉过程中所产生的所有证据，都应妥善保存。
再次，若投诉未能取得预期效果，贵方还可以向保险行业的监管机构进行投诉或申诉，请求他们进行调解或做出裁决。这些保险监管机构主要包括中国保险监督管理委员会及其分支机构、各地区的保险行业协会以及保险公估机构等。
最后，若上述措施均未奏效，贵方还可以选择向当地人民法院提起诉讼，通过法律手段来维护自身的合法权益。

《民事诉讼法》第一百三十八条：当事人在提起诉讼或者应诉后，在开庭前或者开庭后的法庭合议中认为需要补充证据的，经人民法院许可，可以随时补充；但是，应当限定补充证据的时间。