当保险公司拒绝赔偿时，我们可以向法院提起诉讼的同时，申请要求保险公司自行支付相关利息，然而最终能否成功实现，还需参照法官对案件的判决结果而定。通常来说，只有在保险公司应当承担理赔责任或者投保方并无严重过失的前提下，保险公司才会面临拒赔、只赔付一部分或延迟赔偿等困境。这时，我们可以寻求律师的帮助，进行法律诉讼并提出利息索赔。
此外，若保险公司拒绝赔偿是基于合理的理由，即被保险人所遭遇的风险并不符合合同规定的理赔条件，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至可能连已经缴纳的保费都无法退还。

《中华人民共和国民事诉讼法》
第二百五十三条被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。