确实存在被提起诉讼的可能性。
倘若在网络贷款上的欠款仅有一千余元，但若该逾期行为连续超过了整整三个月之久，那么诉诸法庭的风险便大为增加，这种情况并非单纯取决于逾期金额的大小，一旦逾期问题发生，必须得积极采取措施加以解决。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十二条
起诉必须符合下列条件：
（一）原告是与本案有直接利害关系的公民、法人和其他组织；
（二）有明确的被告；
（三）有具体的诉讼请求和事实、理由；
（四）属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。