在面临借款契约到期后未能及时还款的问题时，你可以依据以下的法律程序进行起诉：
首先，你需要精心准备一份起诉书，其中需详细列明原告与被告的个人身份资料、明确的诉讼请求以及相关的事实和理由。
其次，你需要搜集并整理相关的证据，例如借款契约、银行转账记录、微信或短信聊天记录等等，这些都能够有力地证明你们之间的借贷关系确实存在并且对方尚未偿还欠款。
接下来，你需要将这份经过精心准备的起诉书连同所有的证据材料一起递交至具有管辖权的人民法院。
通常来说，被告的居住地或者是合同约定的履行地点所在的人民法院会对该案件拥有管辖权。
在进行起诉的过程中，请务必关注诉讼时效的问题，以免因超过法定时效而导致无法胜诉。

《中华人民共和国民法典》第一百八十八条
向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。
诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。法律另有规定的，依照其规定。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。