关于父母双方同意更改抚养权的情况，当事人可以选择通过签署书面协议的方式进行明确约定，而无需向特定的官方机构提出申请。
然而，若期望以具有法律约束力的方式对抚养权作出变动，则需向被监护人居住所在地的基层人民法院提起诉讼程序。
在此过程中，原告需递交能证实变更抚养权对于子女身心健康发展更为有益的相关证据材料，诸如与子女共同生活的一方存在严重疾病或不良习惯，或者自身的经济状况、生活环境等方面出现显著改善，从而使子女获得更好的成长环境等等。
总的来说，变更抚养权的核心要素在于证明该项变动符合子女的最大利益。

《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十六条
具有下列情形之一，父母一方要求变更子女抚养关系的，人民法院应予支持：
（一）与子女共同生活的一方因患严重疾病或者因伤残无力继续抚养子女；
（二）与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或者其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响；
（三）已满八周岁的子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力；
（四）有其他正当理由需要变更。