在您与伴侣分居期间申请抚养费的过程中，为了证明您具备支付抚养费的经济能力以及需要抚养子女的事实，可采取如下几种方式进行举证：
首先，收集并提供双方就分居及抚养费问题达成的书面协议或共识；
其次，整理并提交双方在分居期间的沟通记录，以证明您对抚养子女的责任和义务；
再次，收集并出示孩子在生活中的各项开支凭证，例如学费收据、医疗费用账单、日常购物小票等；
此外，还需提供您为抚养孩子所付出的经济投入的银行转账记录；
最后，寻求邻居、亲戚朋友等人的证言，以证实您确实是独立承担了抚养孩子的重任。

《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条
父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。
成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。