若对方持续拒绝承担离婚后的子女抚养费用，首先建议您尽可能准确地搜集与此问题相关的关键证据，例如离婚协议书或经由法律程序所作出的管理或判令中所涵盖的有关抚养费用的规定及其支付节奏，以及确凿无疑的能证明对方未能按照既定协议履行义务的事实。
随后，您可依据上述证据，向对方所在地区的基层人民法庭递交起诉书。
在诉讼斗争期间，务必要清晰明确地阐述自己的诉求，即请求法院责令并强制性命令对方按原先商定之约定切实支付其应负担的尚未支付之抚养费用，同时保障日后能够严格遵守支付周期准时经济往来。
法院通常会依据就案情与实际状况的全面分析，为孩子的无辜权益做出公正裁决。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。