首先，针对您提出的“是否可以由承担全部抚养费的一方自愿放弃部分抚养权”这个问题，我们可以明确地告诉您，在达成一致协商的情况下，确实具有可行性，然而，值得注意的是，若存在证据表明，负担全部抚养费的一方由于其实际抚养能力不能充分满足子女的日常需求，以至于对子女的健康成长产生了负面影响时，那么就不应该进行这样的操作。
其次，即便能够成功达成上述协议，但若在履行过程中，双方的经济状况出现显著变化（子女的生活费以及教育经费逐渐增长）或其他特殊原因使得继续支付这些费用变得必要，其中任何一方向法院提起诉讼，要求对方分担抚养费，也是完全合法且可行的行为。

《民法典》第一千零八十五条。离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。