如果一方原本拥有孩子的抚养权，但后来出于某些原因不想要孩子了，并且希望离婚，那么可以参考以下不同情况来处理：
1.协议离婚：
-这种方式需要双方进行充分的沟通和协商。
首先，要就孩子抚养权的变更问题达成一致意见。
例如，详细讨论变更抚养权后，另一方如何为孩子提供稳定的生活环境、教育条件等。
同时，对财产分割也要进行细致的商讨，明确各类财产的分配方式。
双方需将这些协商结果以书面协议的形式确定下来。
-之后，双方要共同前往婚姻登记机关申请离婚登记。
在此之后，会有30天的离婚冷静期。
在冷静期结束后，双方再共同前往领取离婚证。
并且，在协议中要清楚地约定孩子抚养权归另一方，还要对探视权等相关事宜作出合理、具体的安排，比如探视的时间、频率等。
2.诉讼离婚：
-当双方无法就离婚以及孩子抚养权等一系列问题协商达成一致时，想离婚的一方可以向法院提起离婚诉讼。
-在诉讼过程中，主张抚养权变更的一方需要提供充分的证据来证明自己不适合继续抚养孩子。
比如，自身经济状况严重恶化，已经无法满足孩子的生活、教育等基本需求；或者患有严重疾病，可能会影响对孩子的照顾和培养等。
法院会根据这些具体情况，综合考虑各种因素，最终判决是否准予离婚以及孩子抚养权的归属。

案情回顾:

小朱和小李婚后育有一子，起初孩子抚养权归小朱。后小朱因经济困难不想要孩子且想离婚。双方先尝试协议离婚，在孩子抚养权变更、财产分割等问题上产生分歧，协商无果后，小李向法院提起离婚诉讼，主张变更抚养权。

案情分析:

1、协议离婚阶段，双方应充分沟通协商，就孩子抚养权变更、财产分割等达成一致并形成书面协议，若无法协商一致则难以通过协议离婚解决问题。
2、诉讼离婚时，小李需提供充分证据证明小朱不适合继续抚养孩子，如经济状况恶化或患有严重疾病等，法院会综合考虑各种因素来判决是否准予离婚及孩子抚养权归属。