在争取抚养权和抚养费的过程中，以下几种情况可能会面临困难，具体情况如下：
一、抚养权方面
1.健康问题：若一方存在严重传染性疾病，像肺结核、梅毒等，或者有其他不利于子女身心健康的严重疾病，因为这些疾病可能会对孩子的身体和心理造成潜在威胁，
2.伤害行为：有虐待、遗弃子女等伤害子女行为的父母，很难获得抚养权。
这种行为严重违背了父母应尽的责任和义务，会给孩子的心灵带来极大的创伤，影响孩子的健康成长，法院通常不会将抚养权判给此类父母。
3.生活不稳定：自身生活不稳定，孩子的成长需要一个稳定、安全的环境，这种不稳定的生活状态不利于孩子的生活和学习。
二、抚养费方面
1.丧失支付能力：若一方因重大疾病，如癌症、瘫痪等，或因残疾导致无法正常工作，从而丧失劳动能力且无其他经济来源，确实没有支付抚养费的能力，法院会根据实际情况进行考量。
2.非亲生关系：如果能够证明与子女不存在亲生血缘关系，从法律角度讲，就无需承担抚养义务，也就无需支付抚养费。

案情回顾:

小朱和小李离婚时争夺孩子抚养权，小朱有未治愈的精神病，且曾有遗弃子女行为，生活不稳定。小李因癌症丧失劳动能力且无经济来源，还怀疑孩子非自己亲生。争议点在于抚养权归属及抚养费支付问题。

案情分析:

1、抚养权方面，小朱存在严重疾病，有遗弃子女行为且生活不稳定，这些因素都会极大影响其照顾孩子的能力，可能给孩子身心带来伤害，法院大概率不会将抚养权判给小朱。
2、抚养费方面，小李因癌症丧失支付能力，若经证实确实无其他经济来源，法院会考虑其实际情况。若能证明孩子非小李亲生，从法律角度，小李无需支付抚养费。