以下是针对这种情况更为详细的处理建议：
一、确认执行依据
首先，需要明确执行所依据的具体法律条款。
这一点至关重要，因为不同的法律依据会导致不同的执行结果。
比如，若执行是基于债务等合法的生效法律文书展开，那就要深入分析该债务的性质。
即便儿子决定不继承遗产，但如果他本身就负有债务责任，比如在某些经济合同中作为直接责任人，那么他仍有可能被依法执行。
此时，需要仔细查阅相关法律文书，确定具体的责任范围和执行条件。
二、区分个人债务与遗产债务
当债务属于被继承人的债务，而儿子明确表示不继承遗产时，依据法律规定，继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负偿还责任。
在这种情况下，儿子应向执行法院提出异议，并提交能证明自己放弃继承的相关证据，比如经过公证的书面声明、在相关机构备案的放弃继承材料等，以明确表明自己与遗产债务无关。
三、申请执行异议审查
儿子需要向法院提交正式的执行异议申请书。
在申请书中，要详细说明自身不继承遗产的具体情况，包括放弃继承的时间、方式等，同时清晰阐述不应被执行的理由。
法院在收到申请后，会按照法定程序进行审查，综合各方面因素作出相应裁定。

案情回顾:

小朱的父亲去世后留下债务，法院依据生效法律文书欲执行相关财产。小朱决定不继承遗产，但因他曾在某经济合同中作为直接责任人负有债务责任，执行是否应继续成争议点，小朱向法院提出异议。

案情分析:

1、确认执行依据方面，需明确具体法律条款，若小朱在经济合同中为直接责任人，即便不继承遗产，也可能依法被执行，要查阅文书确定责任范围和执行条件。
2、区分个人债务与遗产债务上，若为被继承人债务且小朱放弃继承，可不负偿还责任，他应提交放弃继承证据。
3、申请执行异议审查时，小朱要提交申请书，说明放弃继承情况及不应被执行理由，法院会审查裁定。