在遗产继承公证过程中，若出现继承人死亡的情况，需要根据不同情形来具体分析和处理：
一、公证程序已完成时
当遗产继承公证完成后，继承人却不幸死亡，此时公证书依然是有效的。
这是因为公证书是对特定事实以及相关权利的一种权威性证明，是依据严格的法律程序和规定作出的，一旦依法生成，就具备了相应的法律效力。
在这种情况下，该继承人实际上已经依法取得了对相应遗产的权利。
那么，其应得的这部分遗产，将按照法律规定，由其自身的继承人再进行继承。
比如，若继承人有子女，其子女就可以作为新的继承人，按照法定程序来继承这部分遗产。
二、公证程序未完成时
在公证过程中，继承人死亡，通常该公证程序就会终止。
这是由于公证工作的开展，需要所有相关当事人都积极参与并配合完成一系列的程序和手续。
而继承人的死亡，会使得公证活动缺少了必要的主体，从而无法继续按照原程序进行下去。
后续如果涉及到遗产的分配问题，就需要根据具体的实际情况，由死亡继承人的继承人参与到后续的相关程序当中。
比如，重新梳理遗产范围、明确各继承人的身份等，再按照法定程序重新确定遗产的具体分配方案。

案情回顾:

小朱去世后留下遗产，其子女小李、小胡开始办理遗产继承公证。公证完成后，小李意外死亡。而小静在办理遗产继承公证过程中死亡，其遗产分配出现争议。

案情分析:

1、对于小李的情况，公证书依然有效，小李已依法取得对应遗产权利，其应得遗产将由他自身的继承人，如他的子女等，按照法律规定再进行继承。
2、对于小静的情况，公证程序会终止。因为继承人死亡使公证活动缺少主体，无法按原程序进行。后续需其继承人参与，重新梳理遗产范围、明确身份等，再按法定程序确定分配方案。