当遇到遗嘱执行人私吞被继承人遗产这种情况时，可参考以下方式妥善处理：
1.尝试协商解决：
这是首要的处理步骤。
相关利害关系人可以主动与遗嘱执行人进行平和且严肃的沟通。
在沟通时，要清晰明确地向其指出，私吞遗产这一行为不仅违背了基本的道德准则，更是违反了相关法律规定以及其作为遗嘱执行人所应承担的职责。
要以理性的态度要求其认识到自身错误，及时返还私吞的遗产。
可以通过面对面交谈、书面通知等方式进行沟通，确保意思表达准确清晰。
2.通过法律诉讼解决：
若协商未能取得理想的结果，那么遗嘱受益人等相关利害关系人可以向人民法院提起诉讼。
在准备诉讼的过程中，需要花费一定的时间和精力去收集能够证明遗嘱执行人私吞遗产行为的有力证据。
例如，详细的遗产清单，能清晰展示遗产的具体构成和数量；还有财产转移记录，包括银行转账记录、房产过户文件等，这些证据能够增强诉讼的说服力。
3.明确法律责任承担：
根据相关法律规定，遗嘱执行人若侵占遗产，必须承担相应的法律责任。
在民事方面，应当返还私吞的遗产，并对因此给相关人员造成的损失进行赔偿。
如果其行为情节严重，构成犯罪的，还会面临刑事处罚。
总之，面对遗嘱执行人私吞遗产的情况，相关人员要坚定地通过合法途径来维护自身的权益，保障遗产能够按照遗嘱或者法律规定得到公正、妥善的分配。

案情回顾:

小朱去世后，指定小李为遗嘱执行人。小李却私吞了部分遗产，遗嘱受益人小静发现后，要求小李返还，小李拒绝，双方产生争议。小静先尝试与小李协商，无果后考虑通过法律诉讼解决。

案情分析:

1、小静与小李协商时，明确指出小李私吞行为违法违规，要求其返还，这是合理维护自身权益的第一步。但小李拒绝协商，违背其作为遗嘱执行人的职责。
2、小静若诉讼，需收集如遗产清单、财产转移记录等证据，证明小李私吞行为，以增强诉讼说服力，依法要求小李返还遗产并赔偿损失。
3、小李私吞遗产，应承担法律责任，民事上返还并赔偿，情节严重构成犯罪还会受刑事处罚。