关于当事人死亡后债务责任的履行，具体可分以下几种情况来分析：
一、有遗产且继承人继承遗产
当当事人死亡后留有遗产，并且继承人选择继承该遗产时，继承人需要承担一定的债务清偿责任。
具体而言，是以所得遗产的实际价值为限，来清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。
比如说，若遗产经过评估，其实际价值为10万元，而被继承人遗留的债务高达15万元，那么继承人只需在10万元的范围内进行偿还。
对于超过遗产实际价值的那5万元部分，如果继承人自愿偿还，法律也是允许的。
二、有遗产但继承人放弃继承
在这种情况下，继承人对被继承人依法应当缴纳的税款和债务，可以不承担清偿责任。
因为继承人放弃了对遗产的继承权利，也就相应地不再承担与之相关的债务义务。
三、没有遗产
若当事人死亡后没有留下任何遗产，那么其债务自然就会消灭，不存在偿还的问题了，毕竟没有可供偿还债务的财产基础。
四、夫妻共同债务
要是债务属于夫妻共同债务，那么在一方死亡后，生存的一方应当对婚姻关系存续期间的共同债务承担连带清偿责任。
总之，在处理当事人死亡后的债务问题时，要先准确确定债务的性质，以及是否存在遗产等具体情况，之后才能明确债务的承担主体。

案情回顾:

小朱去世后留下债务，其有遗产，继承人小李面临是否继承的抉择。若继承，遗产价值低于债务时如何偿还存争议；若放弃继承，是否担责有疑问。若小朱无遗产，债务是否消灭存争议。若为夫妻共同债务，生存方小胡是否担责也有争议。

案情分析:

1、若小李继承遗产，应以所得遗产实际价值为限清偿债务，超出部分自愿偿还法律允许。
2、若小李放弃继承，对小朱债务可不承担清偿责任。
3、若小朱无遗产，其债务自然消灭，不存在偿还问题。
4、若为夫妻共同债务，小胡作为生存一方，应对婚姻关系存续期间共同债务承担连带清偿责任。