在父亲不幸身故，而母亲依然健在的这种情况下，房产的分配需要遵循一系列明确的步骤来妥善处理：
一、确定房产性质
首先要弄清楚房产的具体性质。
如果该房产是父母在婚姻关系存续期间共同购买、共同建造或者通过其他共同努力取得的，那么它就属于夫妻共同财产。
在这种情况下，需要先把房产按照价值或者面积等合理方式分成两部分，其中一半明确归母亲所有，因为这是母亲本身在夫妻共同财产中应得的份额。
而剩下的另一半，则作为父亲的遗产来进行后续的分配。
要是房产是父亲在婚前购买，或者是通过遗嘱、赠与等明确只归父亲个人所有的方式取得的，那么整个房产都将作为父亲的遗产进行分配。
二、确定继承人范围
父亲的遗产将由其法定继承人来继承。
法定继承人是有明确顺序规定的，第一顺序法定继承人包含配偶也就是母亲、子女以及健在的父母。
三、进行遗产分配
通常而言，同一顺序的继承人在继承遗产时，份额是均等的。
不过也存在特殊情况，比如继承人中有人生活有特殊困难，并且缺乏劳动能力，那么在分配遗产时就应当对其予以适当照顾；而对被继承人尽了主要扶养义务，或者与被继承人共同生活的继承人，在分配遗产时是可以适当多分一些的。
各继承人可以通过友好协商，来确定房产具体的分配方式，例如由其中某一方取得房产，同时给予其他继承人相应的经济补偿等。

案情回顾:

小朱的父亲不幸身故，母亲健在，留下一处房产。争议点在于房产分配，小朱认为房产应全作遗产分配，母亲则认为应先分一半给自己后再分配遗产，且小朱主张自己尽了主要扶养义务应多分，母亲不认同。

案情分析:

1、关于房产性质，若房产是父母婚姻存续期间共同取得，属夫妻共同财产，应先分一半给母亲，另一半作为父亲遗产；若房产是父亲婚前购买等个人财产，则全作遗产。
2、继承人范围方面，母亲、小朱等作为第一顺序法定继承人有权继承。
3、遗产分配上，同一顺序继承人一般均等分配，若小朱能证明尽主要扶养义务，可适当多分。