对于重婚罪行，应由公安机关负责立案并展开调查工作。
依据我国《刑事诉讼法》第一百一十五条之规定，公安机关在接到明确立案信息后，应对相关事项进行深入侦查，以收集、调取犯罪嫌疑人有关其有罪或无罪、罪孽轻或者罪责重等方面的证据资料。
对现行犯或者具备重大犯罪嫌疑的人来说，按法律规定可以先采取拘留措施;
如果这些人符合妥当的逮捕条件的话，同样应该依法执行逮捕令。
根据我国《刑法》第二百五十八条内容所述，在已有合法配偶又再次结婚者，或者明知道他人已有配偶却仍选择与其结婚的，将面临至少两年以下的有期徒刑或者拘役的刑事责任。

《刑事诉讼法》第一百一十五条公安机关对已经立案的刑事案件，应当进行侦查，收集、调取犯罪嫌疑人有罪或者无罪、罪轻或者罪重的证据材料。
对现行犯或者重大嫌疑分子可以依法先行拘留，对符合逮捕条件的犯罪嫌疑人，应当依法逮捕。
《刑法》第二百五十八条有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。