在刑事拘留期届满并经过37日的审查后，警方若决定不予逮捕并允许当事人在家中接受观察，那么一般情况下并不会留下犯罪记录（即俗称的“案底”）。
犯罪记录一般泛指犯罪者被记录在案的犯罪经历，然而，若警方未能对嫌疑人的罪行进行充分的证据核查与鉴定，从而做出不予逮捕的决策，这也意味着现有的证据并不足以证实嫌疑人已经涉嫌犯下相关罪行。
在此种情况下，我们无法将其视为存在犯罪行为，因此也就不可能产生所谓的“案底”。
但是，如果在后续的调查过程中，警方发现了新的证据，这些新证据足以证明嫌疑人确实构成了犯罪，那么情况将会有所不同。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第十二条
【法院定罪原则】未经人民法院依法判决，对任何人都不得确定有罪。