刑事拘留37天的决定以及后续管理工作，通常是由公安机关与检察机关联手承担。
在常规情况下，当公安机关发现有必要对相关人员进行逮捕时，应在拘留的三日内向人民检察院提交审查申请以获取批准。
然而，对于特殊个案来说，提请审查批准的期限可能会延长至4日甚至更久。
尤其针对流窜作案者、累次作案者或团伙作案者等重大嫌疑人，他们的审查批准期限可进一步延长至30天之多。
而人民检察院也必须在收到公安机关递交的提请批准逮捕申请书之后的第7个工作日之内，给出是否批准逮捕的明确答复。
若人民检察院未核准其逮捕请求，那么公安机关应该严格按照规定，在收到通知后立即释放相关人员，并在释放之后迅速将实际执行状况告知人民检察院。
最后，当需要继续展开调查且符合相应条件（如缴纳保证金、接受监管）即可依法对其采取取保候审或监视居住措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。