依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十五条之明文规定，若涉嫌违法犯罪的被告人仍处于在逃状态时，公安部门有权利立刻发出通缉令进行追捕。
然而，此项法规并未对刑事拘留决定之后何时能够启动网络追逃程序做出明确规定。
然而，通常情况下，一旦犯罪嫌疑人被依法拘留，公安机关将根据案件的具体情况及相关法律规定，决定是否发布通缉令以及采取何种有效手段将其捉拿归案。
因此，关于发布通缉令的具体时间与方式，需视案件的实际情况以及公安机关的判断而定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十五条
应当逮捕的犯罪嫌疑人如果在逃，公安机关可以发布通缉令，采取有效措施，追捕归案。
各级公安机关在自己管辖的地区以内，可以直接发布通缉令；
超出自己管辖的地区，应当报请有权决定的上级机关发布。