依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条之规定，对于公安机关所拘捕之人，若其涉嫌的犯罪行为达到了需要逮捕的程度，公安机关应在拘留后的三个工作日内，向人民检察院提交审查批捕申请。
然而，在特定情形下，此申请的期限可延展为一天至四天。
因此，一旦涉及到醉酒危险驾驶的犯罪嫌疑人被刑事拘留，通常情况下，公安机关应在三个工作日内向人民检察院提交审查批捕申请。
但如遇特殊情况，申请的期限则可延长至七个工作日。
人民检察院在收到公安机关提交的审查批捕申请书后，应在七个工作日内作出是否批准逮捕的决定。
若人民检察院未批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放该犯罪嫌疑人，并将执行情况及时告知人民检察院。
若需进一步调查取证，且犯罪嫌疑人符合取保候审或监视居住条件，公安机关应依法采取相应措施。
总而言之，醉酒危险驾驶的犯罪嫌疑人在被刑事拘留之后，公安机关应在三个工作日内提交审查批捕申请，特殊情况下可延长至七个工作日。
而人民检察院应在七个工作日内作出决定，若未批准逮捕，应立即释放犯罪嫌疑人。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。