在我国现行法律制度下，被刑事拘留的人员其最长合法羁押时间上限为37天。在此期间，负责案件侦办的公安机关将依法展开侦查工作，如经过调查发现该名犯罪嫌疑人具有批捕必要性，则需向人民检察院提交申请，由后者依据相关法律条文作出决定是否对其实施逮捕。在人民检察院出具批准逮捕命令之后，公安机关应当立即执行逮捕措施。值得注意的是，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的明确规定，普通情况下的拘留期限不得超过14天；但对于流窜作案、具有多次作案记录以及与他人结伙作案等情节严重的重大嫌疑分子，其拘留期限则可以延长至37天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。