根据我国现行《中华人民共和国刑事诉讼法》规定，因涉嫌参与赌博活动而被警方采取刑事拘留措施者，所处羁押期限上限为37个自然日。
其中，公安部门在依法对犯罪嫌疑人实施拘留后，必须于拘留行为发生之日起的三日内向检察机关提出逮捕请求，执行特殊情况下的延长时限可以额外延长1至4个工作日；若犯罪嫌犯属于流窜作案、多次作案或者结伙作案等重大犯罪嫌疑人，则其拘留期限可延长至30个自然日。检察机关在收到公安机关的逮捕请求后，应当在七个工作日内作出是否批准逮捕的决定。因此，综合考虑可能出现的审查逮捕期限因素，被刑事拘留的人员所面临的总羁押期限不得超过37个自然日。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。