在涉及到寻衅滋事罪名的情况下，公安机关对犯罪嫌疑人进行逮捕之后的侦查羁押期限通常不会超过37天的上限。根据我国现行《刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在执行逮捕程序之后，对犯罪嫌疑人的侦查羁押期限最长不得超过两个月。然而，针对那些案情较为复杂且在期限内无法完成调查取证工作的案件，公安机关可以向上一级人民检察院提出申请，经过批准后将侦查羁押期限延长至三个月。但是，最终的刑期裁定需要依据犯罪情节的严重程度来确定，这一职责主要由法院负责。若被判定为寻衅滋事罪，根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条的规定，最高可处以五年有期徒刑的严厉惩罚。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。